Fractales

FRACTALES:

Muchas son las definiciones que se han dado sobre fractales. Sin embargo no hay unanimidad al respecto, porque cada una de las dadas deja afuera alguno de los conjuntos considerados como tales.

Al respecto diremos que el fractal es básicamente la expresión visual, o auditiva, e incluso espacial con tres dimensiones o más, de una expresión matemática. Es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas. Es una figura que puede ser espacial o plana, formada por componentes infinitos. Los fractales constituyen la Geometría de la Teoría del Caos. Su principal característica es que su apariencia y la manera en que se distribuye estadísticamente no varían aún cuando se modifique la escala empleada en la observación.

Los objetos fractales fueron creados mucho antes de haberse desarrollado formalmente la Geometría Fractal o la Teoría del Caos. De hecho, se pueden encontrar y reconocer figuras con características fractales como la del triángulo de Sierpinski en grabados de tela de hace varias décadas atrás; hasta en los años de 1400 se hallaron grabados japoneses con estas estructuras. Pero es cuando Benoit Mandelbrot ingresa a trabajar en los laboratorios de IBM para hacer un análisis del ruido y perturbaciones eléctricas, que encuentra, mientras realiza dichos estudios, un patrón en su comportamiento y por lo tanto comienza a descifrar una estructura escondida. El término fractal fue propuesto por él y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

Hay muchos objetos ordinarios que debido a su estructura o comportamiento son considerados fractales. Las nubes, las montañas, los árboles, las costas, son fractales, aunque no gozan de la infinidad de los fractales matemáticos.

Las características fundamentales de los fractales son: 1) Autosimilitud: El todo es exactamente similar a una parte de sí mismo, es decir que el todo tiene la misma forma que una o varias de sus partes. Dentro de la autosimilitud cabe distinguir la Cuasiautomilitud: que está dada por el conjunto de Mandelbrot, en el cual al variar la escala obtenemos copias del conjunto con pequeñas diferencias.

El fractal parece aproximadamente idéntico a distintas escalas. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo; y la Autosimilitud estadística: Es el tipo más débil de autosimilitud en el cual se dan medidas numéricas o estadísticas que se preservan al cambiar la escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de este tipo.

La dimensión fractal: La mayoría de los objetos fractales puramente matemáticos y naturales son no lineales.

Otra singularidad que hace al fractal es que no se pueden construir sin la computadora.

Michael F. Barnsley, uno de los pioneros y más importantes divulgadores e investigadores del tema, en su libro “Fractals Everywhere” (“Fractales en todos Lados”) dijo: “La geometría Fractal cambiará a fondo su visión de las cosas. Seguir leyendo es peligroso. Se arriesga a perder definitivamente la imagen inofensiva que tiene de nubes, bosques, galaxias, hojas, plumas, flores, rocas, montañas, tapices, y de muchas otras cosas. Jamás volverá a recuperar las interpretaciones de todos estos objetos que hasta ahora le eran familiares."

M.C. Escher , fue un artista plástico, grabador, que incursionó artísticamente a partir de la década del 30, en las cuestiones de las progresiones infinitas. Él se interesó por las construcciones imposibles y por representar la unidad de las realidades.

Fractal definido por relaciones de recurrencia:

Exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo. Como ejemplo tenemos: el conjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia, y el fractal de Lyapunov, etc.

Fractales aleatorios: Reciben este nombre los fractales en cuya creación interviene el azar, como por ejemplo la técnica idea por Michael Barnsley denominada “El juego del caos”. Se debe tener en cuenta que siempre se finaliza con la misma figura, como por ejemplo el triángulo de Sierpinskí.

En la construcción del triángulo aleatorio de Sierpinski tenemos diferentes formas de introducir el azar. Por ejemplo, en lugar de unir los puntos medios de los lados del triángulo, se pueden elegir aleatoriamente los puntos de los tres lados y quitar el triángulo central

"Abstracto" Autor: Lydia R. Rabuñal